Question

【题目】如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．

（1）求证：∠ADP＝∠EPB；

（2）求∠CBE的度数；

（3）当△PFD∽△BFP时，求tan∠FPB．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）45°；（3）tan∠FPB=．

【解析】

（1）根据∠ADP与∠EPB都是∠APD的余角,根据同角的余角相等，即可求证;

（2）首先证得△PAD≌△EQP,可以证得△BEQ是等腰直角三角形,可以证得∠EBQ＝45°,即可证得∠CBE＝45°;

（3）先由△PFD∽△BFP,得出PDBF＝PBPF,再判断出△DAP∽△PBF,得出PDBF＝APPF,进而得出PA＝PB,即可得出AD＝2PA,即可得出结论．

（1）证明:∵四边形ABCD是正方形.

∴∠A＝∠PBC＝90°,AB＝AD,

∴∠ADP+∠APD＝90°,

∵∠DPE＝90°,

∴∠APD+∠EPB＝90°,

∴∠ADP＝∠EPB;

（2）解:过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q,则∠EQP＝∠A＝90°,

又∵∠ADP＝∠EPB,PD＝PE,

在△PAD与△EQP中,

,

∴△PAD≌△EQP（AAS）,

∴EQ＝AP,AD＝AB＝PQ,

∴AP＝EQ＝BQ,

∴∠CBE＝∠EBQ＝45°;

（3）∵△PFD∽△BFP,

∴ ,

∴PDBF＝PBPF,

∵∠ADP＝∠EPB,∠CBP＝∠A＝90°,

∴△DAP∽△PBF,

∴，

∴PDBF＝APPF,

∴PBBF＝APPF,

∴PA＝PB,

∵四边形ABCD是正方形,

∴AD＝AB＝PA+PB＝2PA,

∴tan∠ADP＝，

∴tan∠FPB＝.