Question

12．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，5），B（-3，0），C（2，0），将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度后得到△DBE，且使点D落在y轴上，与此同时顶点E恰好落在y=$\frac{k}{x}$的图象上，则k的值为（　　）

• A． -3
• B． -4
• C． -5
• D． -3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用点A、B、C的坐标得到AB⊥x轴，AB=5，BC=5，AC=5$\sqrt{2}$，再根据旋转的性质得BD=AB=5，BE=BC=5，DE=AC=5$\sqrt{2}$，接着确定D点坐标，设E（a，b），利用两点间的距离公式得到（a+3）²+b²=25①，a²+（b-4）²=50②，然后解方程组求出a和b得到E点坐标，最后利用反比例函数图象上点的坐标特征求k的值．

解答 解：∵A（-3，5），B（-3，0），C（2，0），
∴AB⊥x轴，AB=5，BC=5，
∴AC=5$\sqrt{2}$，
∵△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度后得到△DBE，且使点D落在y轴上，
∴BD=AB=5，BE=BC=5，DE=AC=5$\sqrt{2}$，
在Rt△OBD中，OD=$\sqrt{B{D}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴D（0，4），
设E（a，b），
∴BE²=（a+3）²+b²=25①，DE²=a²+（b-4）²=50②，
①-②得b=$\frac{-3a-9}{4}$③，
把③代入①整理得a²+6a-7=0，解得a₁=-7（舍去），a₂=1，
当a=1时，b=-3，
∴E（1，-3），
把E（1，-3）代入y=$\frac{k}{x}$得k=1×（-3）=-3．
故选A．

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．解决本题的关键是利用两点间的距离公式建立方程组．