Question

10．如图，抛物线y=ax²+3（a-1）x（a＞0）经过点A（-3，m），过点A作直线l平行于x轴与抛物线交于另一点B，在x轴上取点Q，连接BQ，使得∠QBO=∠ABO，过点O作OP平行BQ交l于点P，若AP=$\frac{1}{2}$AB，则a的值为$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 首先证明AO⊥OB，把点A代入抛物线解析式得到m=9，利用相似三角形性质求出BK，求出点B坐标即可解决问题．

解答 解：如图连接OA，PQ．

∵PB∥OQ，OP∥BQ，
∴四边形OPBQ是平行四边形，
∵∠OBQ=∠ABO=∠BOQ，
∴QB=QO，
∴四边形OPBQ是菱形，
∴OQ=PB，PQ⊥OB，
∵AP=PB，
∴AP=OQ，AP∥OQ，
∴四边形APQO是平行四边形，
∴AO∥PQ，
∴AO⊥OB，∠AOB=90°，
把点A（-3，m）代入抛物线解析式，m=9a-9（a-1），
∴m=9，
由△AOK∽△OBK得到，OK²=AK•KB，
∴KB=27，
∴点B坐标（27，9）代入抛物线得到：9=27²×a+3×27（a-1），
解得a=$\frac{1}{9}$．
故答案为$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是利用待定系数法求出m的值，得到点B坐标，属于中考常考题型．