Question

3．某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元．已知绿茶每千克成本50元，经研究发现销量y（kg）随销售单价x（元/kg）的变化而变化，具体变化规律如表所示：

销售单价x（元/kg）	…	70	75	80	85	90	…
月销售量y（kg）	…	100	90	80	70	60	…

设该绿茶的月销售利润为w（元）（销售利润=单价×销售量-成本）
（1）请根据上表，写出y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；
（2）求w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，w的值最大？
（3）若在第一个月里，按使w获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于80元，要想在全部收回装修投资的基础上使第二个月的利润至少达到1700元，那么第二个月时里应该确定销售单价在什么范围内？

Answer 1

分析 （1）设y=kx+b，待定系数法求解即可得；
（2）根据：“总利润=每千克利润×销售量”列出函数关系式，配方可得其最值情况；
（3）由（2）知，第二个月利润需达到1700+550即W=2250才能满足题目条件，解方程可得x的值，根据二次函数性质可得x的取值范围．

解答 解：（1）设y=kx+b，
将（70，100），（75，90）代入上式，
得：$\left\{\begin{array}{l}70k+b=100\\ 75k+b=90\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=240\end{array}\right.$，
则y=-2x+240，
（2）w=（x-50）y
=（x-50）（-2x+240）
=-2x²+340x-9000
=-2（x-85）²+2450，
当x=85时，w_最大=2450；
（3）由（2）知，第1个月还有3000-2450=550元的投资成本没有收回．
则要想在全部收投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，
即w=2250才可以，
可得方程：-2（x-85）²+2450=2250
解得：x₁=75，x₂=95
根据题意x₂=95不合题意，应舍去，
当x=80时，y=2400，
∵-2＜0，
∴当x＜85时，w随x的增大而增大，
当w≥2250，且销售单价不高于80时，75≤x≤80．
答：当销售单价为75≤x≤80元时，在全部收回投资的基础上使第二个月的利润不低于1700元．

点评 本题主要考查二次函数的实际应用能力及待定系数求一次函数解析式，根据题意准确抓住相等关系列出函数关系式是解题的关键．