Question

5．如图，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（-1，0），点C的坐标是（0，-3）
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据两个角对应相等的两个三角形相似，相思三角形的性质，可得BP的长，再根据平行线截三角形所得的三角形相似，相似三角形的性质，可得BD的长，根据三角形的面积公式，可得答案．

解答 解：（1）将A、C点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）当y=0时，x²-2x-3=0，解得x=-1（不符合题意，舍），x=3，即B点坐标为（3，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B、C点的坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
直线BC的解析式为y=x-3；
（3）如图，
过点P作PD⊥x轴于点D，∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，
∴△ABP∽△CBA，$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BP}{AB}$．
∵BO=OC=3，
∴BC=3$\sqrt{2}$．
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，∴$\frac{4}{3\sqrt{2}}$=$\frac{BP}{4}$，
解得BP=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．
由题意可得：PD∥OC，
∴△BDP∽△BOC，∴$\frac{PB}{BC}$=$\frac{DP}{CO}$=$\frac{BD}{BO}$，
则$\frac{\frac{8\sqrt{2}}{3}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{DP}{3}$=$\frac{BD}{3}$，
解得DP=BD=$\frac{8}{3}$，
S_△APB=$\frac{1}{2}$AB•PD=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×4=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用相似三角形的判定与性质得出PD的长是解题关键．