Question

13．课上教师呈现一个问题：
已知：如图1，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1=30°时，求∠EFG的度数．

甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图2．
（1）甲同学辅助线的做法为过点F作MN∥CD，请根据甲同学作辅助线的方法求∠EFG的度数；
（2）乙同学辅助线的做法为过P作PN∥EF；丙同学辅助线的做法为过O作ON∥FG；
（3）请你任选乙同学或丙同学所描述辅助线的一种做法，求∠EFG的度数．

Answer 1

分析 （1）过F作MN∥CD，根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数；
（2）由图可得，乙同学辅助线的做法为过P作PN∥EF；丙同学辅助线的做法为过O作ON∥FG；
（3）若选择乙，过P作PN∥EF，根据平行线的性质，可得∠NPD的度数，再根据∠1的度数以及平行线的性质，即可得到∠EFG的度数；若选择丙，过O作ON∥FG，先根据平行线的性质，得到∠BON的度数，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数．

解答 解：（1）如图甲，过F作MN∥CD，
∵MN∥CD，∠1=30°，
∴∠2=∠1=30°，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN，
∵AB⊥EF，
∴∠3=∠4=90°，
∴∠EFG=∠3+∠2=90°+30°=120°．

（2）由图可得，乙同学辅助线的做法为过P作PN∥EF；丙同学辅助线的做法为过O作ON∥FG；
故答案为：过P作PN∥EF；过O作ON∥FG；

（3）若选择乙，理由如下：
如图乙，过P作PN∥EF，
∵PN∥EF，EF⊥AB，
∴∠ONP=∠ENB=90°，
∵AB∥CD，
∴∠NPD=∠ONP=90°，
又∵∠1=30°，
∴∠NPG=90°+30°=120°，
∵PN∥EF，
∴∠EFG=∠NPG=120°；

若选择丙，理由如下：
如图丙，过O作ON∥FG，
∵ON∥FG，∠1=30°，
∴∠PNO=∠1=30°，
∵AB∥CD，
∴∠BON=∠PNO=30°，
又∵EF⊥AB，
∴∠EON=∠EOB+∠BON=90°+30°=120°，
∵ON∥FG，
∴∠EFG=∠EON=120°．

点评 本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角或同位角，依据平行线的性质进行计算求解．