Question

9．在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上一点．B为x轴上一点，C（0，-2），D（-3，-2），直线MN经过C、D两点．
（1）如图1．求△BCD的面积．
（2）如图2，若A（-5，0），当BC=AD时，请尺规作图在图2中作出点B的位置，并直接写出点B的坐标．
（3）如图3，当B恰好为∠ADC和∠ACN的角平分线交点时，记∠BDC=α，∠BCN=β，求∠DBC和∠DAC的度数（用含α、β的式子表示）．并写出∠DAC和∠DBC之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）先确定出OC，CD，在用三角形的面积公式即可得出结论；
（2）以点C为圆心，AD长为半径画弧和x轴的交点即为所求的点，然后根据两点间的距离公式建立方程即可求出点B的坐标；
（3）先根据角平分线的定义得出，∠ADC=2α，∠ACN=2β，再用三角形的外角的性质即可得出结论．

解答 解：（1）C（0，-2），D（-3，-2），
∴OC=2，CD=0+3=3，
∵点B在x轴上，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD•OC=$\frac{1}{2}$×3×2=3；

（2）如图2，

以点C为为圆心，AD长为半径画弧与x交于点B和B'，
∴满足条件的点B如图2所示的点B和B'的位置，
∵A（-5，0），D（-3，-2），
∴AD=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
设B（m，0），
∵C（0，-2），
∴BC=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，
∴m=±2，
∴B（-2，0）或（2，0）；

（3）∵BD是∠ADC的平分线，
∴∠ADC=2∠BDC=2α，
∵BC是∠BCN的角平分线，
∴∠ACN=2∠BCN=2β，
∵∠ACD是△ACD的外角，
∴∠ACN=∠ADC+∠CAD，
∴∠CAD=∠ACN-∠ADC=2α-2β=2（α-β），
∵∠BCN是△BCD的外角，
∴∠BCN=∠BDC+∠DBC，
∴∠DBC=∠BCN-∠BDC=α-β，
∴∠DAC=2∠DBC．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式，两点间的距离公式，基本作图，三角形的外角的性质，角平分线的定义，解（1）的关键是求出OC，CD，解（2）的关键是作出图形，解（3）的关键是利用三角形的外角的性质得出∠CAD=2（α-β），∠DB=α-β，是一道基础题目．