Question

1．如图，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点．
（1）求证：四边形BDEF是菱形；
（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长．
（3）如果S_△AEF=1cm²，则S_△ABC=4 cm²（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）可根据菱形的定义“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，先证明四边形BFED是平行四边形，然后再证明四边形的邻边相等即可；
（2）F是AB的中点，有了AB的长也就求出了菱形的边长BF的长，那么菱形BDEF的周长也就能求出了；
（3）由EF∥BC，可知△AFE∽△ABC，即可推出$\frac{{S}_{△AFE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{EF}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$，由此即可解决问题；

解答 （1）证明：∵D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，
∴DE∥AB，EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形，
又∵DE=$\frac{1}{2}$AB，EF=$\frac{1}{2}$BC，且AB=BC，
∴DE=EF，
∴四边形BDEF是菱形；

（2）解：∵AB=12cm，F为AB中点，
∴BF=6cm，
∴菱形BDEF的周长为6×4=24cm．

（3）∵EF∥BC，
∴△AFE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AFE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{EF}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$，
∵S_△AFE=1，
∴S_△ABC=4，
故答案为4．

点评 本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理，平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是判断四边形BDEF是菱形，灵活运用所学知识解决问题．