Question

16．如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P．
①EF=PF，②∠EPF=40°，③ED-PC=EP，④S_△PEF=$\frac{1}{2}$S_{四边形BEPC}
其中正确的序号有①②④．

Answer 1

分析 ①②正确，延长EF交DC的延长线于H点．只要证明△BEF≌△CHF即可解决问题；
③错误．由图象可知，PC＜BE，则可在线段DP上取一点Q，使得PQ=PC，在△EPQ中，EQ＞EP+PQ，易知ED＞EQ，推出DE＞EP+PQ=EP+PC，推出ED-PC＞EP；
④正确．首先证明S_{四边形BCPH}=S_△EPH，再证明S_△PEF=$\frac{1}{2}$即可解决问题；

解答 解：延长EF交DC的延长线于H点．
∵在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，
∴∠B=80°，BE=BF．
∴∠BEF=（180°-80°）÷2=50°．
∵AB∥DC，∴∠FHC=∠BEF=50°，
又∵BF=FC，∠B=∠FCH，
∴△BEF≌△CHF．
∴EF=FH．
∵EP⊥DC，
∴∠EPH=90°．
∴FP=FH=EF，则∠FPC=∠FHP=∠BEF=50°，
∴∠EPF=40°，故①②正确，
∵由图象可知，PC＜BE，则可在线段DP上取一点Q，使得PQ=PC，
在△EPQ中，EQ＞EP+PQ，易知ED＞EQ，
∴DE＞EP+PQ=EP+PC，
∴ED-PC＞EP，故③错误，
∵EF=FH，
∴S_△EFP=S_△PFH，
∴S_△PEF=$\frac{1}{2}$S_△EPH，
∵S_△BEF=S_△CFH，
∴S_{四边形BCPH}=S_△EPH，
∴S_△PEF=$\frac{1}{2}$S_{四边形BCPE}，故④正确．
故答案为①②④．

点评 此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定方法、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，综合性较强．如何作出辅助线是难点．