Question

13．如图，一块矩形花池ABCD，AB=2$\sqrt{3}$m，AD=4m，分别以A，B，C，D为圆心，2m长为半径作四条弧交于点E，G，F，H．准备在四条弧围成的阴影区域种植紫罗兰，其余区域种植菊花，则这种紫罗兰的区域面积为（　　）

• A． （6$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π）m²
• B． （8$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π）m²
• C． （6$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}$π）m²
• D． （8$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}$π）m²

Answer 1

分析 作GM⊥AB于M，连接AG、BG、DH，CH，先证明△ABG≌△DCH，再证明扇形的圆心角∠EAG=60°，根据种紫罗兰的区域面积=S_矩形ABCD-2S_△ABG-4S_扇形A-EG即可计算．

解答 解：作GM⊥AB于M，连接AG、BG、DH，CH，
∵AG=BG=DH=CH=2，MG⊥AB，
∴AM=BM=$\sqrt{3}$，
在RT△AMG中，∵∠AMG=90°，AM=$\sqrt{3}$，AG=2，
∴MG=$\sqrt{A{G}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
∴AG=2MG，
∴∠MAG=30°，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAG=60°，
在△ABG和△DCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{AG=DH}\\{BG=CH}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△DCH，
∴种紫罗兰的区域面积=S_矩形ABCD-2S_△ABG-4S_扇形A-EG=8$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$-4×$\frac{60°π•{2}^{2}}{360°}$=6$\sqrt{3}$-$\frac{8π}{3}$．
故选C．

点评 本题考查扇形是面积公式、矩形的性质、勾股定理、直角三角形30°的判定等知识，解题的关键是添加辅助线利用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．