Question

5．2010-2|1-x|-|4+2x|-x²的最大值是2004．

Answer 1

分析 分四种情况：①x≤-2，②-2＜x≤0，③0＜x≤1，④x＞1，进行讨论可求2010-2|1-x|-|4+2x|-x²的最大值．

解答 解：①x≤-2，
2010-2|1-x|-|4+2x|-x²
=2010-2+2x+4+2x-x²
=-（x-2）²+2016，
最大值是2000；
②-2＜x≤0，
2010-2|1-x|-|4+2x|-x²
=2010-2+2x-4-2x-x²
=-x²+2004，
最大值是2004；
③0＜x≤1，
2010-2|1-x|-|4+2x|-x²
=2010-2+2x-4-2x-x²
=-x²+2004，
最大值小于2004；
④x＞1，
2010-2|1-x|-|4+2x|-x²
=2010+2-2x-4-2x-x²
=-（x+2）²+2008，
最大值小于1999；
综上所述，2010-2|1-x|-|4+2x|-x²的最大值是2004．
故答案为：2004．

点评 考查了绝对值，当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a； ③当a是零时，a的绝对值是零．关键是分类思想的应用．