Question

1．如图所示，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于点A₁，试探索∠A与∠A₁的度数关系．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义可得∠CBA₁=$\frac{1}{2}$∠ABC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义表示出∠DCA₁，然后整理即可得到∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，代入数据计算即可得解．

解答 解：∵BA₁平分∠ABC，
∴∠CBA₁=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵CA₁平分△ABC的外角，
∴∠DCA₁=$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC，
在△BCA₁中，由三角形的外角性质，∠DCA₁=∠CBA₁+∠A₁=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠A₁，
∴$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查了三角形的外角性质的应用，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．