Question

16．我们知道有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似的，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的四边形中是等对边四边形的图形的名称．
（2）如图1，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且CD、BE相交于点O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠A．请你写出与∠A相等的角．
（3）我们易证图中的四边形BCED是等对边四边形．
（提示：如图2，可证△BGO≌△CFO再证△BGD≌△CFE，可得到结论BD=CE．不需证明）
若在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，D、E分别在AB、AC上，且CD、BE相交于点O，∠DCB=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠A．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）平行四边形等；
（2）利用三角形的外角的性质，求出∠BOD即可解决问题；
（3）可证△BGO≌△CFO再证△BGD≌△CFE，可得到结论BD=CE．

解答 解：（1）平行四边形等（只要对边相等即可）

（2）∵∠A=60°，∠DCB=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOD=∠EOC=∠OBC+∠OCB=60°，
∴与∠A相等的角是∠BOD，∠EOC．

（3）结论：四边形BCED是等对边四边形．理由如下：
如图2中，作BG⊥CD于G，CF⊥BE于F．
∵∠DCB=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠A，
∴OB=OC，
在△BGO和△CFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGO=∠CFO}\\{∠BOG=∠COF}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△BGO≌△CFO，
∴BG=CF，
∵∠BOD=∠A，
∴∠A+∠DOE=180°，∠ADO+∠AEO=180°，
∵∠AEO+∠CEF=180°，∠ADO=∠BDG，
∴∠BDG=∠CEF，∵∠BGD=∠CFE，
∴△BGD≌△CFE，
∴BD=CE，
∴
∴△BGD≌△CFE，
∴BD=CE．
∴四边形BCED是等对边四边形．

点评 本题考查四边形综合题、等腰三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．