Question

13．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=25cm，CD=15cm，BC=35cm．动点M在AD边上以2cm/秒的速度由A向D运动；动点N在CB上以3cm/秒的速度由C向B运动，若点M，N分别从A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，假设运动时间为t秒，问：
（1）当四边形ABNM是矩形时，求出t的值；
（2）在某一时刻，是否存在MN=CD？若存在，则求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）四边形ABNM为矩形，即AM=BN，列出等式，求解即可；
（2）①如果MN=CD，即四边形MNCD为平行四边形，即MD=CN，列出等式求解；②四边形MNCD为等腰梯形，即CD=MN，过点M作MF⊥BC于F，根据勾股定理列出等式即可得出．

解答 解：∵设运动时间为t秒，
∴AM=2t（cm），MD=AD-AM=25-2t（cm），CN=3t（cm），BN=BC-CN=35-3t（cm），
（1）如图1：∵AD∥BC，
∴当MA=BN时，四边形ABNM是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴四边形ABNM是矩形，
即2t=35-3t，
解得：t=7，
∴t=7s时，四边形ABNM是矩形，

（2）①∵AD∥BC，
∴当四边形MNCD是平行四边形时，MN=CD，
此时有MD=CN，即3t=25-2t，
解得t=5．
∴当t=5s时，MN=CD；
②当四边形PQCD为等腰梯形时，MN=CD，
如图所示：
在Rt△MNF和Rt△CDE中，
∵MN=DC，MF=DE，
在Rt△MNF与Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{MN=DC}\\{MF=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△MNF≌Rt△CDE（HL），
∴NF=CE，
∴NC-MD=NC-EFNQF+EC=2CE，即3t-（25-2t）=20，
解得：t=9（s）
即当t=9（s）时，四边形PQCD为等腰梯形，此时MN=CD，
∴当t=5或t=9（s）时，MN=CD．

点评 此题主要考查了矩形、平行四边形、等腰梯形的判定与性质应用，根据题意画出图形是解题的关键．