Question

1．如图1，分别以△ABC的边AB、AC为腰向外作等腰三角形ABE和ACD，且AB=AE，AC=AD，M为BC的中点，连接DE，MA的延长线交DE于点N．
（1）当∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°时，猜想线段AM与DE的数量关系是AM=$\frac{1}{2}ED$；位置关系是AM⊥ED．
（2）如图2，当∠BAC≠90°时，∠BAE=∠CAD=90°时，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
（3）如图3，当∠BAC≠90°时，∠BAE=α°，∠CAD=（180-α）°，判断线段DE与AM的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形斜边上中线的性质可知AM=$\frac{1}{2}$CB，然后再证明△ABC≌△AED，从而可证明BC=DE，可证得：AM=$\frac{1}{2}$DE，由△BAC≌△DAE，然后在证明∠AEN+∠EAN=90°，可知AM⊥DE；
（2）延长AM到K，使MK=AM，连接BK、CK．可证得四边形ABKC是平行四边形，然后再证明△ABK≌△EAD（SAS），从而可证得：DE=2AM．再根据∠AED+∠EAN=∠BAK+∠EAN=180°-90°=90°，可证明AM⊥DE；
（3）延长AM到P，使MP=MA，连接BP．由BM=CM，∠BMP=∠CMA可证得△BMP≌△CMA（SAS），从而得到：BP=AC=AD，∠BPM=∠CAM，然后由∠BAE+∠CAD=α+（180°-α）=180°，可知∠ABP=∠EAD，可证得△ABP≌△EAD（SAS）从而可证明DE=2AM．

解答 解：（1）DE=2AM；AM⊥DE．
理由：∵M是BC的中点，∠BAC=90°
∴AM=$\frac{1}{2}$BC，AM=MC
在△BAC和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAC=∠EAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$
∴△BAC≌△DAE．
∴BC=DE．
∴AM=$\frac{1}{2}$DE．
∵AM=MC．
∴∠MCA=∠MAC．
∵∠CBA+BCA=90°，
∴∠CBA+∠MAC=90°．
∵△BAC≌△DAE，
∴∠CBA=∠AED．
又∵∠MAC=∠NAE，
∴∠AEN+∠EAN=90°．
∴AM⊥DE．
（2）（1）中结论成立．
理由：如图2，延长AM到K，使MK=AM，连接BK、CK．

∵M为BC边的中点，
∴BM=CM，
∴四边形ABKC是平行四边形，
∴AC=BK，∠ABK+∠BAC=180°
∵∠DAC=∠EAB=90°
∴∠DAE+∠BAC=180°
∴∠ABK=∠DAE，
又∵BK=AC=AD，AB=AE，
∴△ABK≌△EAD（SAS）．
∴AK=DE，∠BAK=∠AED
∴DE=2AM．
∵∠AED+∠EAN=∠BAK+∠EAN=180°-90°=90°，
∴AM⊥DE，
即DE=2AM且AM⊥DE．
（3）DE=2AM．
理由：如图3，延长AM到P，使MP=MA，连接BP．

又∵BM=CM，∠BMP=∠CMA
∴△BMP≌△CMA（SAS），
∴BP=AC=AD，∠BPM=∠CAM
又∵∠PBM=∠ACM
∴BP∥AC，∠ABP+∠ABP+∠BAC=180°，
又∵∠BAE+∠CAD=α+（180°-α）=180°，
∴∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABP=∠EAD，
又∵BP=AD，BA=AE，
∴△ABP≌△EAD（SAS）
∴PA=DE，
∵PA=2AM
∴DE=2AM．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，同时本题还涉及了平行四边形、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握此类问题的辅助线的做法是解题的关键．