Question

3．如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD交于点O．若E，F分别是边AB，BC上的动点，且OE⊥OF，则△OEF周长的最小值是2+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据正方形的对角线互相平分且相等可得AO=BO，∠AOB=90°，对角线平分一组对角可得∠OAE=∠OBF，再根据AE=BF，然后利用“SAS”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOE=∠BOF，可得∠EOF=90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答 解：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，
∵点E、F的速度相等，
∴AE=BF，
在△AOE和△BOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=BO}\\{∠OAE=∠OBF}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴∠AOE=∠BOF，
∴∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠BOF+∠BOE=90°，
∴∠EOF=90°，
在Rt△BEF中，设AE=x，则BF=x，BE=2-x，
EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（2-x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{2（x-1）^{2}+2}$．
∴当x=1时，EF有最小值为$\sqrt{2}$．
∴OE=OF=1．
∴△OEF周长的最小值=2+$\sqrt{2}$．
故答案为：2$+\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟记正方形的性质，求出三角形全等的条件是解题的关键．