Question

12．已知∠BAC=90°，半径为r的圆O与两条直角边AB，AC都相切，设AB=a（a＞r），BE与圆O相切于点E．现给出下列命题：①当∠ABE=60°时，BE=$\sqrt{3}r$； ②当∠ABE=90°时，BE=r；则下列判断正确的是（　　）

• A． 命题①是真命题，命题②是假命题
• B． 命题①②都是真命题
• C． 命题①是假命题，命题②是真命题
• D． 命题①②都是假命题

Answer 1

分析 ①如图1，根据切线的性质得出BE=BF，OE⊥BE，OF⊥AB，进一步求得RT△OBF≌RT△OBE，得出∠OBE=∠OBF=$\frac{1}{2}$∠ABE=30°，解直角三角形即可求得BE=$\sqrt{3}r$；
②根据切线的性质得出BE=BF，OE⊥BE，OF⊥AB，根据题意证得四边形BEDF是正方形，得出BE=r．

解答 解：①如图1，∵AB和BE是圆O的切线，
∴BE=BF，OE⊥BE，OF⊥AB，
在RT△OBF和RT△OBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BF}\\{OB=OB}\end{array}\right.$，
∴RT△OBF≌RT△OBE（HL），
∴∠OBE=∠OBF=$\frac{1}{2}$∠ABE=30°，
∴BE=cot30°•OE=$\sqrt{3}$r；
②如图2，∵AB和BE是圆O的切线，
∴BE=BF，OE⊥BE，OF⊥AB，
∵∠ABE=90°，
∴四边形BEDF是正方形，
∴BE=OE
∴BE=r．
故命题①②都是真命题．
故选B．

点评 本题考查了切线的性质，命题和定理，三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质，切线长定理的应用是解题的关键．