Question

8．如图，正方形ABCD中，对角线交于O，E是OB上一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
①求证：OE=OF．
②当E为OB延长线上一点时，画出对应的图形．观察①中结论是否仍然成立，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的两锐角互余即可证得∠FAG=∠ODF，由ASA证明△OAE≌△ODF，根据全等三角形的对应边相等即可证得OE=OF．
（2）同①得：∠OFD=∠OEA，由ASA证明△OAE≌△ODF，根据全等三角形的对应边相等即可证得OE=OF．

解答 ①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD，AC⊥BD，
∴∠DOF=∠AOE=90°，
∴∠OAE+∠OEA=90°，
∵DG⊥AE，
∴∠ODF+∠OEA=90°，
∴∠ODF=∠OAE
在△OAE和△ODF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠DOF}&{\;}\\{OA=OD}&{\;}\\{∠OAE=∠ODF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△ODF（ASA），
∴OE=OF．
②解：①中结论仍然成立；理由如下：
如图所示：
同①得：∠OFD═∠OEA，
在△OAE和△ODF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠DOF}&{\;}\\{OA=OD}&{\;}\\{∠OEA=∠OFD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△ODF（ASA），
∴OE=OF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．