Question

13．如图，P为正方形ABCD的边AB上的一个动点（点P不与A、B重合），连结PC，作BE⊥PC，DF⊥PC，垂足分别为点E、F，已知AD=5．
（1）求BE²+DF²的值；
（2）过点P作PM∥DF交AD于点M，问：点P在何位置时线段AM最长，并求出此时AM的值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得出BC=DC=AD=5，∠BCD=90°，再利用等角的余角相等得到∠BCE=∠CDF，即可根据AAS证得△BCE≌△CDF，得出CE=DF，在RT△CBE中，根据勾股定理得出CE²+BE²=BC²=5²，从而求得BE²+DF²=25；
（2）设AP=x，则PB=5-x，证明RT△PAM∽RT△BCP，利用相似比得AM=$\frac{1}{5}$x²+x，变形得到AM=$\frac{1}{5}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，即可求得P的位置以及最大值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC=AD=5，∠BCD=90°，
∵BE⊥PC，DF⊥PC，
∴∠BEC=∠CFD=90°，
∴∠BCE=∠CDF，
在△BCE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠CFD}\\{∠BCE=∠CDF}\\{BC=DC}\end{array}\right.$
∴△BCE≌△CDF（AAS），
∴CE=DF，
在RT△CBE中，∵CE²+BE²=BC²=5²，
∴BE²+DF²=25；
（2）设AP=x，则PB=5-x，
∵PM∥DF，
∴PM⊥PC，
∴∠APM+∠BPC=90°，
∵∠APM+∠AMP=90°，
∴∠BPC=∠AMP，
∴△APM∽△BCP，
∴$\frac{AM}{PB}$=$\frac{AP}{BC}$，即$\frac{AM}{5-x}$=$\frac{x}{5}$，
∴AM=$\frac{1}{5}$x²+x=$\frac{1}{5}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
∴当x=$\frac{5}{2}$时，AM最大，最大值为$\frac{5}{4}$，
即P点在中点处，线段AM最长，此时AM的值为$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用以及二次函数的最值，三角形全等的判定和三角形相似的判定是解题的关键．