Question

20．如图，一次函数y=-$\frac{2}{3}x+2$的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，将线段AB绕A点顺时针旋转90°，点B落至C处，求过B、C两点直线的解析式．

Answer 1

分析 过C点作CH⊥x轴于H，如图，先利用一次函数图象上点的坐标特征确定B（0，2），A（3，0），再证明△ABO≌△CAH得到AH=OB=2，CH=OA=3，则C点坐标为（5，3），然后利用待定系数法求直线BC的解析式．

解答 解：过C点作CH⊥x轴于H，如图，
当x=0时，y=-$\frac{2}{3}x+2$=2，则B（0，2），
当y=0时，-$\frac{2}{3}x+2$=0，解得x=3，则A（3，0），
∵线段AB绕A点顺时针旋转90°，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAH=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAH，
在△ABO和△CAH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠AHC}\\{∠ABO=∠CAH}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAH，
∴AH=OB=2，CH=OA=3，
∴C点坐标为（5，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（0，2），C（5，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{5k+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{5}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{5}$x+2．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．解决本题的关键是确定C点坐标．