Question

7．如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C为半圆AB上动点，以BC为边在⊙O外作正方形BCDE，（点D在直线AB的上方）连接OD．当点C运动时，则线段OD的长（　　）

• A． 随点C的运动而变化，最大值为2+2$\sqrt{2}$
• B． 不变
• C． 随点C的运动而变化，最大值为2$\sqrt{2}$
• D． 随点C的运动而变化，但无最值

Answer 1

分析 通过旋转观察如图可知当DO⊥AB时，DO最长，设DO与⊙O交于点M，连接CM，先证明△MED≌△MEB，得MD=BM．再利用勾股定理计算即可．

解答 解：通过旋转观察如图可知当DO⊥AB时，DO最长，设DO与⊙O交于点M，连接CM，
∵∠MCB=$\frac{1}{2}$MOB=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴∠DCM=∠BCM=45°，
∵四边形BCDE是正方形，
∴C、M、E共线，∠DEM=∠BEM，
在△EMD和△EMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=BC}\\{∠MED=∠MEB}\\{ME=ME}\end{array}\right.$，
∴△MED≌△MEB，
∴DM=BM=$\sqrt{O{M}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴OD的最大值=2+2$\sqrt{2}$．
故选A．

点评 本题考查正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是OD取得最大值时的位置，学会通过特殊位置探究得出结论，属于中考常考题型．