Question

8．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是△A′B′C，点A的对应点A′落在中线AD上，且点A′是△ABC的重心，A′B′与BC相交于点E，那么BE：CE=4：3．

Answer 1

分析 先证明DA′=$\frac{1}{6}$CB′，由DA′∥CB′，得$\frac{DA′}{CB′}$=$\frac{DE}{EC}$=$\frac{1}{6}$即可解决问题．

解答 证明：∵∠BAC=90°，A′是△ABC重心，
∴BD=DC=AD，DA′=$\frac{1}{2}$AA′=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{1}{6}$BC，
∵△A′CB′S是由△ABC旋转得到，
∴CA′=CA，BC=CB′，∠ACB=∠A′CB′=∠DAC，∠CA′B′=90°，
∴∠CAA′=∠CA′A=∠DAC，∠DA′B′+′CA′A=90°，∠B′+∠A′CB′=90°，
∴∠DA′B′=∠B′
∴DA′∥CB′，
∴$\frac{DA′}{CB′}$=$\frac{DE}{EC}$=$\frac{1}{6}$，设DE=k，则EC=6k，BE=DC=7k，BE=8k，
∴BE：CE=8k：6k=4：3．
故答案为4：3．

点评 本题考查三角形重心、旋转平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是发现DA′=$\frac{1}{6}$CB′，记住三角形的重心把中线分成1：2两部分，属于中考常考题型．