题目内容

12．已知抛物线y=2x2-4x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点M，直线y=$\frac{1}{2}$x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N．

（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（1，a-2），N（$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a）；
（2）如图1，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；
（3）在抛物线y=2x2-4x+a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

分析 （1）已知了抛物线的解析式，不难用公式法求出M的坐标为（1，a-1）．由于抛物线过A点，因此A的坐标是（0，a）．根据A，M的坐标，用待定系数法可得出直线AM的解析式为y=-2x+a．直线AM和y=$\frac{1}{2}$x-a联立方程组即可求出N的坐标为（$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a）．
（2）根据折叠的性质不难得出N与N′正好关于y轴对称，因此N′的坐标为（$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a）．由于N′在抛物线上，因此将N′的坐标代入抛物线的解析式中即可得出a的值．也就能确定N，C的坐标．求四边形ADCN的面积，可分成△ANC和△ADC两部分来求．已经求得了A，C，N的坐标，可求出AC的长以及N，D到y轴的距离．也就能求出△ANC和△ADC的面积，进而可求出四边形ADCN的面积．
（3）分两种情况进行讨论：
①当P在y轴左侧时，如果使以P，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形，那么P需要满足的条件是PN平行且相等于AC，也就是说，如果N点向上平移AC个单位即-2a后得到的点就是P点．然后将此时P的坐标代入抛物线中，如果没有解说明不存在这样的点P，如果能求出a的值，那么即可求出此时P的坐标．
②当P在y轴右侧时，P需要满足的条件是PN与AC应互相平分（平行四边形的对角线互相平分），那么NP必过原点，且关于原点对称．那么可得出此时P的坐标，然后代入抛物线的解析式中按①的方法求解即可

解答 解：（1）∵抛物线y=2x2-4x+a=2（x-1）2+a-2，
∴M（1，a-2），A（0，a），
∴直线AM的解析式为y=-2x+a①，
∵直线y=$\frac{1}{2}$x-a②与直线AM相交于点N．
联立①②得，N（$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a）；
故答案为：1，a-2；$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a；

（2）∵由题意得点N与点N′关于y轴对称，
∴N′（-$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a）．
将N′的坐标代入y=2x2-4x+a得：
-$\frac{3}{5}$a=2×$\frac{16}{25}$a2-4×（-$\frac{4}{5}$a）+a，
∴a1=0（不合题意，舍去），a2=-$\frac{15}{4}$．
∴N（-3，$\frac{9}{4}$），
∴点N到y轴的距离为3．
∵A（0，-$\frac{15}{4}$），N'（3，$\frac{9}{4}$），
∴直线AN'的解析式为y=2x-$\frac{15}{4}$，它与x轴的交点为D（$\frac{15}{8}$，0）
∴点D到y轴的距离为$\frac{15}{8}$．
∴S四边形ADCN=S△ACN+S△ACD=$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{2}$×3+$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{2}$×$\frac{15}{8}$=$\frac{585}{32}$；

（3）存在，理由如下：
如图，

①当点P在y轴的左侧时，若ACPN是平行四边形，则PN$\stackrel{∥}{=}$AC，
∵AC=-2a，
∴把N向上平移-2a个单位得到P，坐标为（（$\frac{4}{5}$a，-$\frac{13}{5}$a），代入抛物线的解析式y=2x2-4x+a，
得：-$\frac{13}{5}$a=$\frac{32}{25}$a2-$\frac{16}{5}$a+a，
解得a1=0（不舍题意，舍去），a2=-$\frac{5}{16}$，
则P（-$\frac{1}{4}$，$\frac{13}{16}$）；
②当点P在y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，
则OA=OC，OP=ON．
则P与N关于原点对称，
则P（-$\frac{4}{5}$a，$\frac{3}{5}$a）；
将P点坐标代入抛物线解析式y=2x2-4x+a，
得：$\frac{3}{5}$a=$\frac{32}{25}$a2+$\frac{16}{5}$a+a，
解得a1=0（不合题意，舍去），a2=-$\frac{45}{16}$，
则P（$\frac{9}{4}$，-$\frac{27}{16}$）．
故存在这样的点P（-$\frac{1}{4}$，$\frac{13}{16}$）或（$\frac{9}{4}$，-$\frac{27}{16}$）．能使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、图形旋转变换、平行四边形的性质等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

练习册系列答案
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