Question

20．已知点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在二次函数y=x²+mx+n的图象上，当x₁=1、x₂=3时，y₁=y₂．
（1）①求m；②若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值．
（2）若P（a，b₁），Q（3，b₂）是函数图象上的两点，且b₁＞b₂，求实数a的取值范围．
（3）若对于任意实数x₁、x₂都有y₁+y₂≥2，求n的范围．

Answer 1

分析 （1）①利用抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线x=2，则根据抛物线对称轴方程得到-$\frac{m}{2}$=2，然后解方程即可得到m的值；
②利用△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△=m²-4n=0，然后解方程即可得到n的值；
（2）利用二次函数的性质，由于x₁=1、x₂=3时，y₁=y₂，点P到直线x=2的距离比点Q到直线x=2的距离要大，于是可得到a＜1或a＞3；
（3）由于对于任意实数x₁、x₂都有y₁+y₂≥2，则判断二次函数y=x²-4x+n的最小值大于或等于1，根据顶点坐标公式得到$\frac{4×1×n-（-4）^{2}}{4×1}$≥1，然后解不等式即可．

解答 解：（1）①∵当x₁=1、x₂=3时，y₁=y₂，
∴点A与点B为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
即-$\frac{m}{2}$=2，
∴m=-4；
②∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△=m²-4n=0，
而m=-4，
∴n=4；
（2）∵x₁=1、x₂=3时，y₁=y₂，
而抛物线开口向上，
∴当a＞3时，b₁＞b₂，或a＜1时，b₁＞b₂，
即实数a的取值范围为a＜1或a＞3；
（3）∵对于任意实数x₁、x₂都有y₁+y₂≥2，
∴二次函数y=x²-4x+n的最小值大于或等于1，
即$\frac{4×1×n-（-4）^{2}}{4×1}$≥1，
∴n≥5．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程；△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．利用数形结合的思想是解决本题的关键．