Question

17．已知某二次函数满足下列条件，求其表达式．
（1）图象经过点A（1，3），B（-2，12），C（-1，5）三点；
（2）图象经过点A（1，0），B（0，-3），且对称轴是直线x=2；
（3）图象与x轴交点的横坐标分别是-2和3，且函数有最小值-3．

Answer 1

分析 （1）设一般式为y=ax²+bx+c，然后把三个点的坐标代入得到a、b、c的方程组，再解方程组即可；
（2）利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），则可设交点式y=a（x-1）（x-3），然后把（0，-3）代入求出a的值即可；
（3）利用抛物线对称性得到抛物线的对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$，抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，-3），设一般式y=a（x+2）（x-3），然后把顶点坐标代入求出a即可．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=3}\\{4a-2b+c=12}\\{a-b+c=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=2x²-x+2；
（2）∵抛物线的对称轴是直线x=2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），
把（0，-3）代入得a•（-1）•（-3）=-3，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），即y=-x²+4x-3；
（3）根据题意，抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），
抛物线的对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$，
所以抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，-3），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-3），
把（$\frac{1}{2}$，-3）代入得a•$\frac{5}{2}$•（-$\frac{5}{2}$）=-3，解得a=$\frac{12}{25}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{12}{25}$（x-$\frac{1}{2}$）²-3．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．