Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点G，垂足分别为D，F．求∠EAG的度数和△AEG的周长．

Answer 1

分析 利用线段的垂直平分线的性质得到：AE=BE，AG=CG，然后根据等边对等角得到：∠1=∠B，∠2=∠C，然后根据三角形内角和定理可得：∠1+∠2=60°，最后根据∠1+∠2+∠EAG=∠BAC，即可求∠EAG的度数，利用线段的垂直平分线的性质得到：AE=BE，AG=CG，就可以将△AEG的周长转化为线段BC的长．

解答 解：∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，
∴AE=BE，AG=CG，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=120°，
∴∠B+∠C=60°，
∴∠1+∠2=60°，
∵∠1+∠2+∠EAG=∠BAC=120°，
∴∠EAG=60°；
（2）∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，
∴AE=BE，AG=CG，
∴△AEG的周长=AE+EG+AG=BE+EG+CG=BC=12，
∴△AEG的周长是12．

点评 题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．