如图所示.抛物线y=-x2+2x+8与x轴交于A.B两点.直线BD的解析式为y=-2$\sqrt{3}x$+8$\sqrt{3}$.抛物线的对称轴l与直线BD交于点C.与x轴交于点E．(1)求A.B.C三个点的坐标,(2)点P为线段AB上的一个动点.以点A为圆心.以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M.以点B为圆心.以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N.分别连接AN.BM.MN．①� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．

如图所示，抛物线y=-x²+2x+8与x轴交于A、B两点，直线BD的解析式为y=-2$\sqrt{3}x$+8$\sqrt{3}$，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．
（1）求A、B、C三个点的坐标；
（2）点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．
①在点P运动的过程中，是否存在一点P，使得四边形AMNB为等腰梯形？若有，请求出此时P点的坐标．
②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积是否有最值？若有，请求出其最值．

分析（1）抛物线的解析式中，令y=0，即可求出A、B点的坐标；联立抛物线的对称轴方程及直线BD的解析式即可求出C点的坐标；
（2）①根据等腰梯形的性质：两腰相等，可得AM=BN，根据圆的性质，可得AM与AP，BN与BP的关系，根据线段中点的性质，可得答案；
②由图知：四边形AMNB的面积为△ABC与△CMN的面积差，等边△ABC的面积易求得，关键是求△CMN的面积；过M作MF⊥CN于F，设AP=AM=m，则可用m表示出CM、BN、CN的长，进而可在Rt△MFC中，根据∠ACB的正弦值求出MF的表达式，由此可得到△CMN的面积，即可求得关于四边形AMNB的面积和m的函数关系式，即可根据函数的性质求出四边形AMNB的最大或最小值．

解答解：（1）令-x²+2x+8=0，
解得：x₁=-2，x₂=4，
∴A（-2，0），B（4，0）
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线的对称轴为x=1，
将x=1代入y=-2$\sqrt{3}x$+8$\sqrt{3}$，
得y=6$\sqrt{3}$，
∴C（1，6$\sqrt{3}$）；
（2）①存在一点P，使得四边形AMNB为等腰梯形，
由四边形AMNB为等腰梯形，得
AM=BN=AP=BP，
即P是AB的中点，A（-2，0），B（4，0），
AP=BP=$\frac{3-（-1）}{2}$=2，
-1+2=1，
即P（1，0）；
②四边形AMNB的面积有最小值．
设AP=m，四边形AMNB的面积为S，
由勾股定理，得
AC=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（6\sqrt{3}）^{2}}$=6
∴AB=BC═AB=4，BN=CM=BP=4-m，
S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²=9$\sqrt{3}$，
∴CM=BN=BP=6-m，CN=m，
如图：，
过M作MF⊥BC，垂足为F
则MF=MC•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6-m），
∴S_△CMN=$\frac{1}{2}$CN•MF=$\frac{1}{2}$m•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6-m）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$m，
∴S=S_△ABC-S_△CMN
=9$\sqrt{3}$-（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$m）
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（m-2）²+$\frac{27\sqrt{3}}{4}$，
∴m=2时，S取得最小值$\frac{27\sqrt{3}}{4}$．