Question

10．已知点P是∠ABC内一动点（P与B点不重合），连接BP，过P作PE⊥BA于E，PF⊥BC于F．设∠EBP=α，∠FBP=β，（α、β都是锐角）
（1）当∠EBP=40°，∠FBP=20°时，请比较sin40°与sin20°的大小（直接写出结果）；
（2）若PE＞PF，试比较sinα与sinβ的大小，并说明理由；
（3）若α＞β．试判断cosα与cosβ的大小，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形，可得出PE＞PF，从而证出sin40°＞sin20°，
（2）根据sin∠EBP=$\frac{PE}{BP}$，sin∠FBP=$\frac{PF}{BP}$，PE＞PF，BP=BP，即可得出sinα＞sinβ；
（3）先根据cos∠EBP=$\frac{BE}{BP}$=cosα，cos∠FBP=$\frac{BF}{BP}$=cosβ，得出PE＞PF，再证出BE＜BF，即可得出cosα＜cosβ．

解答 解：（1）如图：根据图形可得：PE＞PF，
则sin40°＞sin20°，

（2）∵sin∠EBP=$\frac{PE}{BP}$，sin∠FBP=$\frac{PF}{BP}$，PE＞PF，BP=BP，
∴$\frac{PE}{BP}＞\frac{PF}{BP}$，
∴sinα＞sinβ；

（3）∵cos∠EBP=$\frac{BE}{BP}$=cosα，cos∠FBP=$\frac{BF}{BP}$=cosβ，
∵BP=BP，α＞β，
∴PE＞PF，
∵BE=$\sqrt{B{P}^{2}-P{E}^{2}}$，
BF=$\sqrt{B{P}^{2}-P{F}^{2}}$，
∴BE＜BF，
∴cosα＜cosβ．

点评 此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、解直角三角形，关键是根据题意画出图形，比较出有关结果的大小．