Question

如图，在△ABC中，AB和AC被四条平行于BC的线段分成了五等分，如果△ABC的面积是S，则阴影部分②与④的面积的和是

 

；小三角形①与中间的梯形③的面积的和是

 

．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求出①的面积，再求出①+②的面积，即可求出②的面积，再求出①+②+③的面积，即可求出③的面积，最后求出④的面积即可．

解答：解：
∵在△ABC中，AB和AC被四条平行于BC的线段分成了五等分，
∴AE：EG：GM：MQ：QB=AF：FH：HN：ND：DC=1：1：1：1：1：1，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

S△AEF

S△ABC

=（

AE

AB

）²=（

1

5

）²=

1

25

，
∵△ABC的面积是S，
∴①的面积是

1

25

S，
∵GH∥BC，
∴△AGH∽△ABC，
∴

S△AGH

S△ABC

=（

AG

AB

）²=（

2

5

）²=

4

25

，
∵△ABC的面积是S，
∴①+②的面积是

4

25

S，
∴②的面积是

4

25

S-

1

25

S=

3

25

S，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴

S△AMN

S△ABC

=（

AM

AB

）²=（

3

5

）²=

9

25

，
∵△ABC的面积是S，
∴①+②+③的面积是

9

25

S，
∴③的面积是

9

25

S-

3

25

S-

1

25

S=

1

5

S，
∵QD∥BC，
∴△AQD∽△ABC，
∴

S△AQD

S△ABC

=（

AQ

AB

）²=（

4

5

）²=

16

25

，
∵△ABC的面积是S，
∴①+②+③+④的面积是

16

25

S，
∴④的面积是

16

25

S-

9

25

S=

7

25

S，
∴阴影部分②与④的面积的和是

3

25

S+

7

25

S=

2

5

S，
小三角形①与中间的梯形③的面积的和是

1

25

S+

1

5

S=

6

25

S，
故答案为：

2S

5

，

6S

25

．

点评：本题考查了相似三角形的性质的应用，题目比较典型，是一道比较好的题目，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．