Question

17．如图，△ABC绕点A顺时针旋转得△ADE，点E恰好落在边BC上．
（1）若∠C=65°，求∠DEB的度数；
（2）若∠BAC=90°，线段BC与BD有何关系？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质可得∠C=∠AED=65°，AC=AE，根据等边对等角得出∠AEC=∠C=65°，然后根据平角的定义即可求出∠DEB的度数；
（2）根据旋转的性质可得∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE，再利用等腰三角形两底角相等表示出∠C、∠ABD，然后求出∠DBC=90°，根据垂直的定义即可得BC⊥BD．

解答 解：（1）∵△ABC绕点A顺时针旋转得△ADE，
∴∠C=∠AED=65°，AC=AE，
∴∠AEC=∠C=65°，
∴∠DEB=180°-∠AEC-∠AED=180°-65°-65°=50°；

（2）线段BC⊥BD．理由如下：
∵△ABC绕点A顺时针旋转得△ADE，
∴∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE，
∴∠ABD=∠ADB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAD），∠C=∠AEC=$\frac{1}{2}$（180°-∠CAE），
∴∠ABD=∠C，
∵∠BAC=90°，
∴∠C+∠ABC=180°-90°=90°，
∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=∠C+∠ABC=90°，
∴BC⊥BD．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰三角形两底角相等的性质，垂直的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．