Question

18．已知：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，CD⊥AB，D为垂足，D关于AC、BC的对称点分别为F、G，C关于AB的对称点为E．当四边形BEFG恰好为矩形时，则EF：BE=$\sqrt{3}$：2．

Answer 1

分析 由D、G关于BC对称，C、E关于AB对称，所以∠CBG=∠CBD=∠ABE=30，设AF=AD=a，用a的代数式表示线段EF，EB即可解决问题．

解答 解：如图∵四边形BEFG是矩形，
∴∠EBG=90°，
∵D、G关于BC对称，C、E关于AB对称，
∴∠CBG=∠CBD=∠ABE=30°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠ABC=60°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD=30°，设AD=AF=a，则AC=AE=2a，BC=BE=2$\sqrt{3}$a，
∴EF=3a，
∴$\frac{EF}{BE}$=$\frac{3a}{2\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为$\sqrt{3}$：2..

点评 本题考查轴对称的性质、矩形的性质、直角三角形30度角的性质，解题的根关键是根据对称的性质得到∠ABC=30°，记住30度角的直角三角形中边之间的关系是1：$\sqrt{3}$：2．