题目内容
2．
在平面直角坐标系中，直线y1=x+m与双曲线y2=$\frac{k}{x}$交于点A、B，已知点A、B的横坐标为2和-1．（1）求k的值及直线与x轴的交点坐标；
（2）直线y=2x交双曲线y=$\frac{k}{x}$于点C、D（点C在第一象限）求点C、D的坐标；
（3）设直线y=ax+b与双曲线y=$\frac{k}{x}$（ak≠0）的两个交点的横坐标为x1、x2，直线与 x轴交点的横坐标为x0，结合（1）、（2）中的结果，猜想x1、x2、x0之间的等量关系并证明你的猜想．
分析 （1）根据待定系数法即可解决．
（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$即可解得C、D坐标．
（3）结论：x1+x2=x0，由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+b}\\{y=\frac{k}{a}}\end{array}\right.$消去y得：ax2+bx-k=0，所以x1+x2=-$\frac{b}{a}$，又直线y=ax+b与x轴的交点为（-$\frac{b}{a}$，0），所以x0=-$\frac{b}{a}$，所以x1+x2=x0．
解答 解：（1）由题意：$\left\{\begin{array}{l}{2+m=\frac{k}{2}}\\{-1+m=-k}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{k=2}\end{array}\right.$，
∴y1=x-1，y2=$\frac{2}{x}$，
∴k=2，直线y1=x-1与x轴的交点为（1，0）．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
所以点C（1，2），D（-1，-2）．
（3）结论：x1+x2=x0，
理由：由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+b}\\{y=\frac{k}{a}}\end{array}\right.$消去y得：ax2+bx-k=0，
∵直线y=ax+b与双曲线y=$\frac{k}{x}$（ak≠0）的两个交点的横坐标为x1、x2，
∴x1+x2=-$\frac{b}{a}$，
直线y=ax+b与x轴的交点为（-$\frac{b}{a}$，0），
∴x0=-$\frac{b}{a}$，
∴x1+x2=x0．
点评 本题考查反比例函数和一次函数的有关知识，解题的关键是理解方程组解与交点坐标的关系，体现数形结合的思想，属于中考常考题型．
如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BE=4EC，且△ODE的面积是5，则k的值为$\frac{25}{12}$．
如图，平行光线AB与DE射向同一平面镜后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4，那么反射光线BC与EF平行吗？说明理由．