Question

20．如图所示，

将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n是正整数且n＞1）个点，相应的图案中总的点数记为a_n ，则$\frac{9}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{9}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{9}{{a}_{2017}{a}_{2018}}$=（　　）

• A． $\frac{2015}{2016}$
• B． $\frac{2016}{2017}$
• C． $\frac{2017}{2018}$
• D． $\frac{2018}{2017}$

Answer 1

分析 根据图象规律得出通项公式a_n=3n-3，根据数列{$\frac{9}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$}的特点即可用列项法求其前n项和的公式，而$\frac{9}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{9}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{9}{{a}_{2017}{a}_{2018}}$是前2016项的和，代入前n项和公式即可得答案．

解答 解：每个边上有n个点，把每个边上的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，
故第n个图形的点数为3n-3，即a_n=3n-3，
令S_n=$\frac{9}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{9}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{9}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{n-1}{n}$，
∴$\frac{9}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{9}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{9}{{a}_{2017}{a}_{2018}}$=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$，
故选：B．

点评 本题主要考查图形和数字的变化规律，根据图形得出点的变化规律和数字的变化规律是解题的关键．