Question

12．观察下图：

我们把正方形中所有x、y相加得到的多项式称为“正方形多项式”，如第1个图形中的“正方形多项式”为4x+y，第2个图形中的“正方形多项式”为9x+4y，遵循以上规律，解答下列问题：
（1）第4个图形中的“正方形多项式”为25x+16y，第n（n为正整数）个图形中的“正方形多项式”为（n+1）²x+n²y．
（2）如果第1个图形中的“正方形多项式”为5，第4个图形中的“正方形多项式”为2．
①求x和y的值；
②求“正方形多项式”的值Q的最大值（或最小值），并说明是第几个图形．

Answer 1

分析 （1）由前三个图形中正方形多项式知x的系数为序数加1的平方，y的系数为序数的平方，据此可得；
（2）①根据（1）中的结论，列出方程组解之可得x、y的值；
②由①中所求x、y的值代入可得Q=（n+1）²x+n²y=-n²+4n+2=-（n-2）²+6，据此即可知答案．

解答 解：（1）∵第1个图形中“正方形多项式”为：4x+y，
第2个图形中“正方形多项式”为：10x+4y，
第3个图形中“正方形多项式”为：16x+9y，
∴第4个图形中的“正方形多项式”为25x+16y，
第n（n为正整数）个图形中的“正方形多项式”为（n+1）²x+n²y，
故答案为：25x+16y，（n+1）²x+n²y；
                               
（2）①依题意，得$\left\{\begin{array}{l}{4x+y=5}\\{25x+16y=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$；
②Q=（n+1）²x+n²y=-n²+4n+2=-（n-2）²+6，
当n=2时，Q最大值为6，
∴第2个图形中，“正方形多项式”的值最大，最大值为6．

点评 本题主要考查图形的变化规律和二次函数的性质，根据题意得出正方形多项式知x的系数为序数加1的平方，y的系数为序数的平方是解题的关键．