Question

10．已知抛物线y=x²-2kx+k-1
（1）求证：不论k取何值时，抛物线与x轴必有两个交点；
（2）设抛物线与x轴的两个交点分别为（x₁，0）、（x₂，0），求x₁²+x₂²的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2k-1）²+3＞0，从而可得出不论k取何值时，方程x²-2kx+k-1=0总有两个不相等的实数根，即不论k取何值时，抛物线与x轴必有两个交点；
（2）由根与系数的关系可得出x₁+x₂=2k、x₁•x₂=k-1，将其代入x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂中，再利用配方法即可找出x₁²+x₂²的最小值．

解答 （1）证明：∵在关于x的一元二次方程x²-2kx+k-1=0中，△=（-2k）²-4（k-1）=（2k-1）²+3＞0，
∴不论k取何值时，方程x²-2kx+k-1=0总有两个不相等的实数根，
∴不论k取何值时，抛物线与x轴必有两个交点．
（2）解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为（x₁，0）、（x₂，0），
∴x₁+x₂=2k，x₁•x₂=k-1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=4k²-2k+2=4（k-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{7}{4}$，
∴当k=$\frac{1}{4}$时，x₁²+x₂²取最小值，最小值为$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值、根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）找出不论k取何值时，方程x²-2kx+k-1=0总有两个不相等的实数根；（2）利用配方法找出x₁²+x₂²的最小值．