Question

8．如图1，已知：矩形ABCD中，AC、BD是对角线，分别延长AD至E，延长CD至F，使得DE=AD，DF=CD．

（1）求证：四边形ACEF为菱形．
（2）如图2，过E作EG⊥AC的延长线于G，若AG=8，cos∠ECG=$\frac{3}{5}$，则AD=2$\sqrt{5}$（直接填空）

Answer 1

分析 （1）先证明四边形ACEF是平行四边形，再由矩形的性质证出AE⊥CF，即可得出四边形ACEF是菱形；
（2）由菱形的性质得出AC=CE，AD=ED，与三角函数得出CG=$\frac{3}{5}$CE=$\frac{3}{5}$AC，得出CG=3，CE=AC=5，由勾股定理求出EG=$\sqrt{C{E}^{2}-C{G}^{2}}$=4，在Rt△AEG中，由勾股定理求出AE=$\sqrt{A{G}^{2}+E{G}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，即可得出AD的长．

解答 （1）证明：∵DE=AD，DF=CD．
∴四边形ACEF是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴AE⊥CF，
∴四边形ACEF是菱形；

（2）解：∵四边形ACEF是菱形，
∴AC=CE，AD=ED，
∵EG⊥AC，cos∠ECG=$\frac{CG}{CE}$=$\frac{3}{5}$，
∴CG=$\frac{3}{5}$CE=$\frac{3}{5}$AC，
∵AG=AC+CG=8，
∴CG=3，CE=AC=5，
∴EG=$\sqrt{C{E}^{2}-C{G}^{2}}$=4，
在Rt△AEG中，AE=$\sqrt{A{G}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE=2$\sqrt{5}$；
故答案为：2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形ACEF是菱形是解决问题的关键．