Question

18．已知关于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x₁，x₂，且x₁²+x₂²=6x₁x₂-15，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=2k-3≥0，解之即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可得，x₁+x₂=k+1、x₁•x₂=$\frac{1}{4}$k²+1，结合x₁²+x₂²=6x₁x₂-15即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再由（1）的结论即可确定k值．

解答 解：（1）∵关于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0有两个实数根，
∴△=[-（k+1）]²-4（$\frac{1}{4}$k²+1）=2k-3≥0，
解得：k≥$\frac{3}{2}$．

（2）∵方程的两实数根分别为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$k²+1．
∵x₁²+x₂²=6x₁x₂-15，
∴$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-8x₁x₂+15=0，
∴k²-2k-8=0，
解得：k₁=4，k₂=-2．
又∵k≥$\frac{3}{2}$，
∴k=4．

点评 本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）由方程解得个数结合根的判别式找出△=2k-3≥0；（2）利用根与系数的关系找出k²-2k-8=0．