Question

13．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b²-4ac＞0；②3a+c＜0；③（a+c）²＞b²；④x（ax+b）≤a-b．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由抛物线与x轴有两个交点即可得出△=b²-4ac＞0，结论①正确；②由抛物线的对称轴为x=-1即可得出b=2a，由当x=1时y＜0即可得出a+b+c＜0，即3a+c＜0，结论②正确；③由当x=-1时y＞0和x=1时y＜0，可得出b＜a+c＜-b，进而即可得出（a+c）²＜b²，结论③错误；④由抛物线的顶点坐标为（-1，a-b+c），可得出ax²+bx+c≤a-b+c，变形后即可得出x（ax+b）≤a-b，结论④正确．综上即可得出结论．

解答 解：①∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，
∴方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac＞0，结论①正确；
②∵抛物线的对称轴为x=-1，
∴b=2a．
当x=1时，y=a+b+c＜0，
即a+2a+c=3a+c＜0，结论②正确；
③∵a-b+c＞0，a+b+c＜0，
∴b＜a+c＜-b，
∴（a+c）²＜b²，结论③错误；
④∵抛物线的顶点坐标为（-1，a-b+c），
∴ax²+bx+c≤a-b+c，
即x（ax+b）≤a-b，结论④正确．
故选C．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析4个选项的正误是解题的关键．