Question

6．如图，已知四边形ABCD顶点A、B在x轴上，点D在y轴上，函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点C（2，3），直线AD交双曲线于点E，并且EB⊥x轴，CD⊥y轴，EB与CD交于点F．
（1）若EB=$\frac{4}{3}$OD，求点E的坐标；
（2）若四边形ABCD为平行四边形，求过A、D两点的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据点C坐标求出反比例函数的解析式，再求出点E的纵坐标，即可解决问题．
（2）设E（m，$\frac{6}{m}$），则B（m，0），由四边形ABCD是平行四边形，推出CD=AB=2，由DF∥AB，推出$\frac{DF}{AB}$=$\frac{EF}{EB}$，推出$\frac{m}{2}$=$\frac{\frac{6}{m}-3}{\frac{6}{m}}$，解得m=1，可得E（1，6），设直线AD的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可解决问题．

解答 解：（1）∵C（2，3），
把C（2，3）代入y=$\frac{k}{x}$中，k=6，
∴y=$\frac{6}{x}$，
∵CD⊥y轴，
∴OD=3，
∵BE=$\frac{4}{3}$OD，
∴BE=4，
∴y=4时，4=$\frac{6}{x}$，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴点E坐标（$\frac{3}{2}$，4）；

（2）设E（m，$\frac{6}{m}$），则B（m，0），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2，
∵DF∥AB，
∴$\frac{DF}{AB}$=$\frac{EF}{EB}$，
∴$\frac{m}{2}$=$\frac{\frac{6}{m}-3}{\frac{6}{m}}$，
解得m=1，
∴E（1，6），
设直线AD的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=3x+3．

点评 本题考查反比例函数的解析式、一次函数的应用、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．