Question

7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠DCB=∠CAB，AE∥BC，AE交DC的延长线于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，AE=$\frac{16}{3}$，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，OC即为⊙O的半径，由AB是⊙O的直径，得出∠CAB=∠ACO，∠ACB=90°，由已知推出∠DCB=∠ACO，得出∠OCD=90°即可得出结论；
（2）由平行线的性质得出∠EAC=∠ACB，由弦切角定理得出∠ECA=∠ABC，证明△EAC∽△ACB，得出比例式$\frac{EA}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，求出AC，得出BC=3，AB=5，由平行线得出△DBC∽△DAE，得出$\frac{BD}{DA}$=$\frac{BC}{AE}$，即可得出结果．

解答 （1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠CAB=∠ACO，∠ACB=90°，
即∠ACO+∠OCB=90°，
∵∠DCB=∠CAB，
∴∠DCB=∠ACO，
∴∠DCB+∠OCB=90°，
∴∠OCD=90°
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠ECA=∠ABC，
∴△△EAC∽△ACB，
∴$\frac{EA}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
∵AE=$\frac{16}{3}$，
∴AC=$\frac{16×3}{3×4}$=4，
∴BC=3，AB=5，
∵AE∥BC，
∴△DBC∽△DAE，
∴$\frac{BD}{DA}$=$\frac{BC}{AE}$，
设BD=x，
∴$\frac{x}{x+5}$=$\frac{3}{\frac{16}{3}}$，
解得：x=$\frac{45}{7}$，
∴BD=$\frac{45}{7}$．

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、弦切角定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定方法，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．