Question

某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满，当每间客房每天的定价每涨10元时，就会有5间客房空闲．游客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出60元的各种费用．空闲房间不支付各种费用，设每间客房每天的定价涨x个10元．（x为非负整数）
（1）设某天的利润为8000元，求相应的x；
（2）判断8000元的利润是否为每天的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？

Answer 1

考点：二次函数的应用,一元二次方程的应用

专题：销售问题

分析：（1）设每间客房涨价10x元，根据题意列出方程，在涨价后的房间数乘以房间价格等于获利的8000元，解出x即可；
（2）把（1）的函数关系式用配方法化简可得y=-50（x-5）²+8450，利用二次函数的性质进行解答．

解答：解：（1）设每间客房涨价10x元，根据题意，
得（140+10x-60）（90-5x）=8000．（4分）
x²-10x+16=0．
x₁=2，x₂=8．
因为尽可能节约资源，所以x=2舍去．
答：设某天的利润为8000元，相应的x的值是8；

（2）8000元的利润不是为该天的最大利润．理由如下：
设每天的利润为w，则由（1）知，
w=（140+10x-60）（90-5x）=-50（x-5）²+8450
∴当x=5时，w_最大=8450．
则每间客房的定价为：140+10×5=190（元）
答：即每间客房定价为190元时，宾馆当天的最大利润为8450元．

点评：本题考查了二次函数的应用，要求同学们仔细审题，将实际问题转化为数学模型，注意配方法求二次函数最值的应用．