Question

13．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得，AB=AF，∠BAE=∠FAE，根据平行四边形的性质可得∠FAE=∠AEB，然后证明AF=BE，进而可得四边形ABEF为平行四边形，再由AB=AF可得四边形ABEF为菱形；
（2）根据菱形的性质可得AE⊥BF，BO=$\frac{1}{2}$FB=3，AE=2AO，利用勾股定理计算出AO的长，进而可得AE的长．

解答 （1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=FA，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF为菱形；

（2）解：∵四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，BO=$\frac{1}{2}$FB=3，AE=2AO，
在Rt△AOB中，AO=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AE=2AO=8．

点评 此题主要考查了菱形的性质和判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分．