Question

8．如图，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（2，1），点M（m，n）（0＜m＜2）是该函数图象上一动点，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B，过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当∠OAM=90°时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入y=$\frac{k}{x}$中求出k的值即可；
（2）先证明Rt△AMD∽Rt△OAC得到（n-1）：2=（2-m）：1，再利用点M（m，n）在y=$\frac{2}{x}$的图象上得到n=$\frac{2}{m}$，然后解关于m的方程求出m，从而可得到M点的坐标．

解答 解：（1）把A（2，1）代入y=$\frac{k}{x}$得k=2×1=2，
所以反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$；
（2）∵∠OAM=90°，
∴∠MAD+∠CAO=90°，
而∠CAO+∠AOC=90°，
∴∠AOC=∠MAD，
∴Rt△AMD∽Rt△OAC，
∴AD：OC=MD：AC，即（n-1）：2=（2-m）：1，
∴n-1=4-2m，
∵点M（m，n）在y=$\frac{2}{x}$的图象上，
∴n=$\frac{2}{m}$，
∴$\frac{2}{m}$-1=4-2m，
整理得2m²-5m+2=0，解得m₁=$\frac{1}{2}$，m₂=2（舍去），
∴n=4，
∴点M的坐标为（$\frac{1}{2}$，4）．

点评 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式．解决（2）小题的关键是证明Rt△AMD∽Rt△OAC，利用相似比建立m与n的关系式．