Question

8．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m．n]上的“闭函数”．如函数y=-x+4，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y=-x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y=$\frac{2016}{x}$是闭区间[1，2016]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若二次函数y=x²-2x-k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k的值；
（3）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的表达式（用含m，n的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）由k＞0可知反比例函数y=$\frac{2016}{x}$在闭区间[1，2016]上y随x的增大而减小，然后将x=1，x=2016分别代入反比例解析式的解析式，从而可求得y的范围，于是可做出判断；
（2）先求得二次函数的对称轴为x=1，a=1＞0，根据二次函数的性质可知y=x²-2x-k在闭区间[1，2]上y随x的增大而增大，然后将x=1，y=1，x=2，y=2分别代入二次函数的解析式，从而可求得k的值；
（3）当k＞0时，将（m，m）、（n，n）代入直线的解析式得到关于k、b的方程组，从而可求得k=1、b=0，故此函数的表达式为y=x；当k＜0时，将（m，n）、（n，m）代入直线的解析式得到关于k、b的方程组，从而可求得k=-1、b=m+n的值，从而可求得函数的表达式．

解答 解：（1）∵k=2016＞0，
∴当1≤x≤2016时，y随x的增大而减小．
∴当x=1时，y=2016；当x=2016时，y=1．
∴1≤y≤2106．
∴反比例函数y=$\frac{2016}{x}$是闭区间[1，2016]上的“闭函数”．
（2）∵x=-$\frac{b}{2a}$=1，a=1＞0，
∴二次函数y=x²-2x-k在闭区间[1，2]上y随x的增大而增大．
∵二次函数y=x²-2x-k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，
∴当x=1时，y=1；当x=2时，y=2．
将x=1，y=1；x=2，y=2代入得：$\left\{\begin{array}{l}{1-2-k=1}\\{4-4-k=2}\end{array}\right.$．
解得：k=-2．
∴k的值为-2．
（3）∵一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，
∴当k＞0时，直线经过点（m，m）、（n，n）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{mk+b=m}\\{nk+b=n}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=0}\end{array}\right.$．
∴直线的解析式为y=x．
当k＜0时，直线经过点（m，n）、（n，m）
∴$\left\{\begin{array}{l}{mk+b=n}\\{nk+b=m}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=m+n}\end{array}\right.$．
∴直线的解析式为y=-x+m+n．
综上所述，当k＞0时，直线的解析式为y=x，当k＜0，直线的解析式为y=-x+m+n．

点评 本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．