Question

20．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，二次函数y=x²+c的图象抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若点D是第四象限内抛物线上一点，△ADC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求点D的坐标；
（3）若将△OBC绕平面内某一点顺时针旋转60°得到△O′B′C′，点O′，B′均落在此抛物线上，求此时O′的坐标．

Answer 1

分析 （1）通过求函数解析式，求出相应线段的长度，观察AC=2OA，进而求出∠ABC度数；
（2）通过观察三角形ADC面积与三角形AOC面积相等，可以判断直线OD∥AC，求出直线与抛物线交点即为点D；
（3）利用抛物线解析式设出O′，通过旋转60°，求出点B′的坐标，将点B′代入抛物线解析式即可求出．

解答 解：（1）由题意与y轴交于点C（0，-3），
∴得解析式为y=x²-3，
令y=0，x=±$\sqrt{3}$，
∴B（$\sqrt{3}$，0），A（-$\sqrt{3}$，0），
∴OA=$\sqrt{3}$，OC=3，AC=2$\sqrt{3}$，
∴∠OCA=30°，
∴∠ABC=60°； 

（2）由（1）得：OA=$\sqrt{3}$，OC=3，
∴S_△OAC=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
过原点与AC平行的直线y=-$\sqrt{3x}$，
直线与抛物线的交点即为点D，
联立：$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{y={x}^{2}-3}\end{array}\right.$，
解得x₁=$\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}$，x₂=$\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{15}}{2}$（舍去），
∴D （$\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}$，$\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$）．

（3）设点O′（m，m²-3），
∵顺时针旋转60°，
则点B′（m+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，m²-$\frac{9}{2}$），
∴（m+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²-3=m²-$\frac{9}{2}$，
∴m=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴O′（-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{21}{16}$）．

点评 题目考查二次函数综合应用，涉及二次函数解析式、三角形面积，一次函数解析式确定及旋转，题目整体较难，适合学生中考压轴题的拔高训练．