Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，如图所示，点D、E分别是AB、AC边的中点，AF⊥BE交BC于点F，连结EF、CD交于点H．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：∠EAF=∠ACD；
（3）猜想直线EF与直线CD的位置关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）易证AD=AE，即可证明△ABE≌△ACD；
（2）易证∠EAF=∠ABE，根据（1）中结论可得∠ABE=∠ACD，即可解题；
（3）过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M，易证△ABE≌△CAM，可得AE=CM，∠AEB=∠M，即可证明△EFC≌△MCF，可得∠FEC=∠M，即可证明△ABE≌△ACD，可得∠ABE=∠ACD，即可解题．

解答：解：（1）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴AD=AE，
∵在△ABE和△ACD中，

AD=AE ∠BAE=∠CAD AB=AC

，
∴△ABE≌△ACD，（SAS）；
（2）∵∠EAF+∠AEB=90°，∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠EAF=∠ABE，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠EAF=∠ACD；
（3）证明：如图，过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M，

∵在△ABE和△CAM中，

∠ABE=∠EAF AB=AC ∠BAC=∠ACM

，
∴△ABE≌△CAM（ASA），
∴AE=CM，∠AEB=∠M，
∵AE=EC，
∴EC=CM，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ACM=90°，
∴∠FCM=90-45°=45°=∠ACF，
在△EFC和△MFC中，

EV=MC ∠FCM=∠ECF CF=CF

，
∴△EFC≌△MCF（SAS），
∴∠FEC=∠M，
∴∠FEC=∠FCM，
∵AB=AC，点D、E分别是AB、AC边的中点，
∴AD=AE，
在△ABE与△ACD中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠ACD+∠FEC=90°，
∴∠EHC=90°，
∴EF⊥CD．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABE≌△CAM、△EFC≌△MCF和△ABE≌△ACD是解题的关键．