Question

如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M、N在边BC上，且∠MAN=45°，MB=1，CN=3，求MN的长．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．通过证明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的对应边MN=EN；最后由勾股定理得到EN²=EC²+NC²即MN²=BM²+NC²．

解答：解：过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．
在△ABM和△ACE中，

AB=AC ∠B=∠ACE BM=CE

，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．
在△MAN和△EAN中，

AM=AE ∠MAN=∠EAN AN=AN

，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN=EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN²=EC²+NC²．
∴MN²=BM²+NC²．
∵BM=1，CN=3，
∴MN²=1²+3²，
∴MN=

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．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形．