Question

试求使

2006 x+y

+

2006 y+z

+

2006 z+x

为整数的正整数解．

Answer 1

考点：一元二次方程的整数根与有理根

专题：常规题型

分析：若

a

+

b

+

c

∉Q，只要

a

 或 

b

 或 

c

不为有理数即可．解题时还要注意分类讨论．

解答：解：设

a

+

b

+

c

=q为有理数，但

a

， 

b

 ， 

c

皆不为有理数．
因a+b+2

ab

=q2-2q

c

+c?2

ab

=

q2+c-a-b

令为t

-2q

c

则4ab=t2-2qt

c

+4q2c?

c

=

-4ab+t2+4q2c

2qt

唯一有理数，矛盾．
故

2006 x+y

∈Q，令y+z=2006k₁²，z+x=2006k₂²，x+y=2006k₃²，?

1

k1

+

1

k2

+

1

k3

为正整数，
则

1

k1

+

1

k2

+

1

k3

=1或2或3．
当

1

k1

+

1

k2

 + 

1

k3

=3时，可得k₁=1，k₂=1，k₃=1，即可得：x=y=z=1003；
当

1

k1

+

1

k2

 + 

1

k3

=2时，可得k₁=2，k₂=2，k₃=1或k₁=2，k₂=1，k₃=2或k₁=1，k₂=2，k₃=2，
即可得：x=1003，y=1003，z=7021或x=1003，y=7021，z=1003或x=7021，y=1003，z=1003；
当

1

k1

+

1

k2

 + 

1

k3

=1时，可得k₁=3，k₂=3，k₃=3或k₁=4，k₂=4，k₃=2或k₁=4，k₂=2，k₃=4或k₁=2，k₂=4，k₃=4，
即可得：x=y=z=9027或x=y=4012，z=28084或x=z=4012，y=28084或y=z=4012，x=28084．
故共有8组解．

点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根，在解答此题的关键是理解“若

a

+

b

+

c

∉Q，只要

a

 或 

b

 或 

c

不为有理数即可”．