Question

10．如图，△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，D、E、F分别在AB、BC、CA上，已知∠B=∠DEF=90°，AB=BC，DE=EF．
（1）写出图中所有与∠BDE相等的角；
（2）求证：BD+BE=EC．

Answer 1

分析 （1）由△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，得到∠A=∠EDF=45°，由三角形的内角和和平角的定义得到∠ADF+∠BDE=∠ADF+∠AFD=135°，即可得到结论；
（2）过F作FG⊥BC于G，根据余角的性质得到∠GEF=∠BDE，推出△BDE≌△GEF，根据全等三角形的性质得到BD=EG，证得△CGF是等腰直角三角形，于是得到CG=GF=BE，即可得到结论．．

解答 解：（1）图中所有与∠BDE相等的角是∠AFD，
∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，
∴∠A=∠EDF=45°，
∴∠ADF+∠BDE=∠ADF+∠AFD=135°，
∴∠BDE=∠AFD；

（2）过F作FG⊥BC于G，
∵∠BED+∠BDE=∠BED+∠GEF=90°，
∴∠GEF=∠BDE，
在△BDE与△GEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GEF=∠BDE}\\{EF=ED}\\{∠EGF=∠DBE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△GEF，
∴BD=EG，
∴△CGF是等腰直角三角形，
∴CG=GF=BE，
∴CE=CG+GE=BE+ED．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．