Question

10．在半径为1cm，圆心角是90°的扇形的内部挖去一个最大的圆，则余下的图形的面积为$\frac{8\sqrt{2}-11}{4}$π．

Answer 1

分析 显然当小圆与扇形的两半径及弧相切时小圆最大，设小圆半径为r，继而根据OP+PF=1可得关于r的方程，解之可得r，再用扇形面积减去圆的面积即可得．

解答 解：如图，设⊙P的半径为r，

∴PD=PE=PF=r，
∵∠PEO=∠AOB=∠PDO=90°，
∴四边新PEOD为正方形，
∴PO=$\sqrt{2}$PE=$\sqrt{2}$r，
∴OF=OP+PF=$\sqrt{2}$r+r=1，
解得：r=$\sqrt{2}$-1，
则余下的图形的面积为$\frac{1}{4}$×π×1²-π•（$\sqrt{2}$-1）²=$\frac{8\sqrt{2}-11}{4}$π，
故答案为：$\frac{8\sqrt{2}-11}{4}$π．

点评 本题主要考查扇形面积的计算，根据题意求得内部最大圆的半径是解题的关键．